ohmedfisika: Soal dan Pembahasan Vektor

Contoh Soal dan Pembahasan tentang Vektor; jumlah dan selisih vektor, penguraian gaya dan beberapa variasi soal terapan vektor.

Soal No. 1
Diberikan dua buah vektor gaya yang sama besar masing-masing 10 Newton seperti gambar berikut.

Jika sudut yang terbentuk antara kedua vektor adalah 60°, tentukan nilai resultan kedua vektor!

Pembahasan

$\\R=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\,cos\,\alpha}\\R=\sqrt{10^2+10^2+2.10.10.cos\,60^0}\\R=\sqrt{300}=10\sqrt{3}\,Newton$

Soal No.2
Perhatikan gambar berikut!

Jika satu kotak mewakili 10 Newton, tentukan resultan antara kedua vektor!

Pembahasan

Cari jumlah resultan pada sumbu x dan sumbu y, cukup dengan menghitung kotak dari masing-masing vektor, kemudian masukkan rumus resultan:

$\100dpi \inline \\\Sigma F_X=30+50=80\,Newton\\\Sigma F_Y=20+40=60\,Newton\\R=\sqrt{(\Sigma F_X)^2+(\Sigma F_Y)^2}\\R=\sqrt{60^2+80^2}\\R=100\,Newton$

Soal No.3
Diberikan 3 buah vektor F₁=10 N, F₂=25 N dan F₃=15 N seperti gambar berikut.

Tentukan:
a. Resultan ketiga vektor

b. Arah resultan terhadap sumbu X

[Sin 37° = (3/5), Sin 53° = (4/5)]

Pembahasan

a. Ikuti langkah-langkah berikut:

1. Uraikan semua vektor ke sumbu x dan sumbu y (kecuali vektor yang sudah lurus pada sumbu x atau y seperti F₂). Lihat gambar di bawah!

2. Cari jumlah vektor pada sumbu x ( kanan +, kiri -)

3. Cari jumlah vektor pada sumbu y (atas +, bawah -)

4. Masukkan rumus resultan

$\inline \\\Sigma F_x=F_1\,cos\,37^0-F_3\,cos\,53^0\\\Sigma F_x=10.\frac{4}{5}-15.\frac{3}{5}=8-9=-1\,N\\\\\Sigma F_y=F_1\,sin\,37^0+F_3\,sin\,53^0-F_2\\\Sigma F_y=10.\frac{3}{5}+15.\frac{4}{5}-25=6+12-25=-7\,N\\\\R=\sqrt{(\Sigma F_x)^2+(\Sigma F_y)^2}=\sqrt{(-1)^2+(-7)^2}=\sqrt{50}\,N$

b. Mencari sudut yang terbentuk antara resultan vektor R dengan sumbu x

$\inline \\tan\,\Theta =\frac{\Sigma F_y}{\Sigma F_X}=\left(\frac{-1}{-7}\right)=\frac{1}{7}\\\Theta=8,13\,^0$

Soal No. 4
Ditentukan 2 buah vektor F yang sama besarnya. Bila perbandingan antara besar jumlah dan besar selisih kedua vektor sama dengan √3, tentukan besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor! (Sumber Soal : SPMB)

Pembahasan

Jumlah dan selisih kedua vektor masing-masing adalah

$\inline \\\overline{F_1}+\overline{F_2}=\sqrt{F^2+F^2+2.F.F\,cos\,\alpha}\\\overline{F_1}-\overline{F_2}=\sqrt{F^2+F^2-2.F.F\,cos\,\alpha}$

Perbandingan jumlah dan selisihnya adalah √3 sehingga

$\100dpi \LARGE \inline \frac{\sqrt{F^2+F^2+2.F.F\,cos\,\alpha}}{\sqrt{F^2+F^2-2.F.F\,cos\,\alpha}}=\sqrt{3}$

Kuadratkan ruas kiri dan kanan

$\100dpi \LARGE \inline \\\frac{2F^2+2F^2\,cos\alpha}{2F^2-2F^2\,cos\alpha}=3\\$

$\\2F^2+2F^2\,cos\alpha=6F^2-6F^2\,cos\alpha\\cos\,\alpha=\frac{1}{2}\\\alpha=60\,^0\\$

Soal No.5
Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m dan kecepatan airnya 4 m/s. Bila perahu diarahkan menyilang tegak lurus dengan kecepatan 3 m/s, tentukan panjang lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang sungai! (Sumber Soal : UMPTN)

Pembahasan

Asumsikan bahwa perahu bergerak lurus beraturan menempuh lintasan AD dan resultan kecepatan perahu dan air adalah 5 m/s (gunakan aturan Phytagoras). Dengan membandingkan sisi-sisi segitiga ABC dan ADE :

$\inline \\\frac{AD}{DE}=\frac{AB}{BC}\\AD=\frac{AB}{BC}\times DE\\AD=\frac{5}{3}\times 180\,m=300\,m$

Tips

“Untuk dua buah vektor dengan besar yang sama dan membentuk sudut 120^o maka resultan kedua vektor besarnya akan sama dengan besar salah satu vektor”

Berikut ilustrasinya:

Dua buah vektor dengan besar yang sama yaitu 10 N membentuk sudut 120^o maka nilai resultan kedua vektor juga 10 N.

Berikut contoh soal diambil dari soal EBTANAS (UN tempo dulu, zaman kakak-kakak kita) tahun 2000.

Perhatikan gambar gaya-gaya di bawah ini!

Besar resultan ketiga gaya tersebut adalah….

A. 2,0 N

B. 2 √3 N

C. 3,0 N

D. 3 √3 N

E. 4√3 N

Pada soal di atas 2 buah vektor (gaya) 3 N membentuk sudut 120^o, sehingga resultan kedua gaya juga 3 N. Resultan kedua gaya ini akan segaris dengan gaya 6 N, namun berlawanan arah. Sehingga dengan mudah soal ini bisa dijawab resultan ketiga gaya adalah 6 N dikurangi 3 N hasilnya adalah 3 N. Soal No. 6
Diberikan 3 buah vektor :
a = 2i + 3j satuan
b = 4i + 5j satuan
c = 6i + 7j satuan
Tentukan besar resultan ketiga vektor, dan kemiringan sudut antara resultan dan sumbu X
Pembahasan
Data:
$\100dpi \\a = 2i+3j\\ b =4i+5j\\ c=6i+7j\\\\ R=(2+4+6)i+(3+5+7)j\\ R=12i+15j=\sqrt{12^2+15^2}=\sqrt{369}=19,21\,\,satuan\\\\ tan \,\,\theta =\frac{15}{12}=\frac{5}{4} =1,25 \rightarrow \theta =51,34^o$